SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Model soal yang sering muncul pada topik barisan dan deret aritmatika antara lain menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika beberapa sukunya diketahui, menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika jumlah beberapa sukunya diketahui, menentukan jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika jika beberapa sukunya diketahui, menentukan beda dan suku pertama suatu barisan aritmatika jika beberapa sukunya diketahui, menentukan beda dan suku pertama suatu barisan aritmatika jika jumlah beberapa sukunya diketahui, menentukan banyak suku dalam suatu deret jika suku tengah dan beberapa suku lainnya diketahui, dan lain sebagainya.

Barisan dan Deret Aritmatika 

Menentukan Suku ke-n (Un) Jika Beberapa Suku Diketahui.

1. Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan tersebut adalah ...

   A. 308 B. 318 C. 326

   D. 344 E. 354

   Pembahasan
   Dari beberapa suku yang diketahui diperoleh persamaan yaitu :
   (1) U4 = a + 3b = 110
   (2) U9 = a + 8b = 150
   
   Dengan dua persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai suku pertama (a) dan beda (b) barisan aritmatika tersebut. Nilai a dan b dapat ditentukan dengan metode eliminasi ataupun metode substitusi. Dengan metode substitusi, diperoleh :
   a + 3b = 110 → a = 110 - 3b → substitusi ke persamaan (2).
   a + 8b = 150
   ⇒ 110 - 3b + 8b = 150
   ⇒ 110 + 5b = 150
   ⇒ 5b = 40
   ⇒ b = 8
   Karena b = 8, maka a = 110 - 3(8) = 110 - 24 = 86.
   Jadi, suku ke-30 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U30 = a + 29b
   ⇒ U30 = 86 + 29(8)
   ⇒ U30 = 86 + 232
   ⇒ U30 = 318 (Opsi B)
   
   
   
2. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan ini adalah ...

   A. 62 B. 68 C. 72

   D. 74 E. 76

   Pembahasan
   Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
   (1) U5 = a + 4b = 22
   (2) U12 = a + 11b = 57
   
   Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
   a + 4b = 22 → a = 22 - 4b → substitusi ke persamaan (2).
   a + 11b = 57
   ⇒ 22 - 4b +11b = 57
   ⇒ 22 + 7b = 57
   ⇒ 7b = 35
   ⇒ b = 5
   Karena b = 5, maka a = 22 - 4(5) = 22 - 20 = 2.
   Jadi, suku ke-15 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U15 = a + 14b
   ⇒ U15 = 2 + 14(5)
   ⇒ U15 = 2 + 70
   ⇒ U15 = 72 (Opsi C)
   
   
   
3. Suku keempat dan suku ketujuh suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku barisan ke-25 adalah ...

   A. 97 B. 101 C. 105

   D. 109 E. 113

   Pembahasan
   Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
   (1) U4 = a + 3b = 17
   (2) U7 = a + 6b = 29
   
   Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
   a + 3b = 17 → a = 17 - 3b → substitusi ke persamaan (2).
   a + 6b = 29
   ⇒ 17 - 3b + 6b = 29
   ⇒ 17 + 3b = 29
   ⇒ 3b = 12
   ⇒ b = 4
   Karena b = 4, maka a = 17 - 3(4) = 17 - 12 = 5.
   Jadi, suku ke-25 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U25 = a + 24b
   ⇒ U25 = 5 + 24(4)
   ⇒ U25 = 5 + 96
   ⇒ U25 = 101 (Opsi B)
   
   
   
4. Suku kedua barisan aritmatika adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Suku ke-20 barisan aritmatika tersebut adalah ...

   A. 59 B. 62 C. 63

   D. 65 E. 68

   Pembahasan
   Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
   (1) U2 = a + b = 5
   (2) U5 = a + 4b = 14
   
   Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
   a + b = 5 → a = 5 - b → substitusi ke persamaan (2).
   a + 4b = 14
   ⇒ 5 - b + 4b = 14
   ⇒ 5 + 3b = 14
   ⇒ 3b = 9
   ⇒ b = 3
   Karena b = 3, maka a = 5 - 3 = 2.
   Jadi, suku ke-20 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U20 = a + 19b
   ⇒ U20 = 2 + 19(3)
   ⇒ U20 = 2 + 57
   ⇒ U20 = 59 (Opsi A)
   
   
   
5. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku keempat adalah 7 dan jumlah suku keenam dan kedelapan adalah 23. Besar suku kedua puluh adalah ...

   A. 21 B. 20 C. 31

   D. 41 E. 60

   Pembahasan
   Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
   (1) U4 = a + 3b = 7
   (2) U6 + U8 = (a + 5b) + (a + 7b) = 2a + 12b = 23
   
   Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
   a + 3b = 7 → a = 7 - 3b → substitusi ke persamaan (2).
   2a + 12b = 23
   ⇒ 2(7 - 3b) + 12b = 23
   ⇒ 14 - 6b + 12b = 23
   ⇒ 6b = 9
   ⇒ b = 9/6 = 3/2
   
   Karena b = 3/2, maka a = 7 - 3(3/2) = (14 - 9)/2 = 5/2.
   Jadi, suku ke-20 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U20 = a + 19b
   ⇒ U20 = 5/2 + 19(3/2)
   ⇒ U20 = 5/2 + 57/2
   ⇒ U20 = 62/2 = 31 (Opsi C)
   
   
   

Menentukan Suku ke-n jika Jumlah Beberapa Suku Diketahui

1. Diketahui barisan aritmatika dengan U2 + U5 + U20 = 54. Suku ke-9 barisan tersebut adalah…

   A. 16 B. 17 C. 18

   D. 19 E.  20

   
   Pembahasan
   Pada dasarnya, untuk mengerjakan soal seperti ini yang perlu kita lakukan adalah mencari nilai suku pertama (a) dan beda barisan (b). Akan tetapi, pada sebagian soal kita tidak dapat menentukan nilai a dan b sehingga yang harus kita lakukan adalah melihat hubungan antara persamaan yang ditanya dengan persamaan yang diketahui. Dari soal diperoleh persamaan :
   
   U2 + U5 + U20 = 54
   ⇒ (a + b) + (a + 4b) + (a + 19b) = 54
   ⇒ 3a + 24b = 54
   ⇒ a + 8b = 18
   
   Rumus untuk menghitung suku ke-9 adalah sebagai berikut :
   U9 =  a + 8b
   ⇒ U9 = a + 8b = 18 (opsi C)
   
   
   
2. Dalam suatu barisan aritmatika, jika U₃ + U₇ = 56 dan U₆ + U₁₀ = 86 , maka suku ke-2 barisan aritmatika tersebut sama dengan ...

   A. 13 B. 16 C. 20

   D. 24 E. 28

   
   Pembahasan
   Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
   U₃ + U₇ = 56
   ⇒ (a + 2b) + (a + 6b) = 56
   ⇒ 2a + 8b = 56
   ⇒ a + 4b = 28.
   
   U₆ + U₁₀ = 86
   ⇒ (a + 5b) + (a + 9b) = 86
   ⇒ 2a + 14b = 86
   ⇒ a + 7b = 43.
   
   Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
   a + 4b = 28 → a = 28 - 4b → substitusi ke persamaan (2).
   ⇒ a + 7b = 43
   ⇒ 28 - 4b + 7b = 43
   ⇒ 28 + 3b = 43
   ⇒ 3b = 15
   ⇒ b = 5
   Karena b = 5, maka a = 28 - 4(5) = 28 - 20 = 8.
   Jadi, suku ke-2 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U2 = a + b
   ⇒ U2 = 8 + 5
   ⇒ U2 = 13 (Opsi A)
   
   
   
3. Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah ...

   A. 30 B. 28 C. 22

   D. 18 E. 14

   
   Pembahasan
   Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
   (1) U₂ + U₄ = 12
   ⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
   ⇒2 a + 4b = 12
   ⇒ a + 2b = 6.
   
   (2) U₃ + U₅ = 16
   ⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
   ⇒ 2a + 6b = 16
   ⇒ a + 3b = 8.
   
   Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
   a + 2b = 6 → a = 6 - 2b → substitusi ke persamaan (2).
   a + 3b = 8
   ⇒ 6 - 2b + 3b = 8
   ⇒ 6 + b = 8
   ⇒ b = 2
   Karena b = 2, maka a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2.
   Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U7 = a + 6b
   ⇒ U7 = 2 + 6(2)
   ⇒ U7 = 14 (Opsi E)
   
   
   
4. Diketahui barisan aritmatika dengan U1 + U10 + U19 = 96. Suku ke-10 barisan tersebut sama dengan ...

   A. 22 B. 27 C. 32

   D. 37 E. 42

   
   Pembahasan
   Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
   U₁ + U₁₀ + U₁₉ = 96
   ⇒ a + a + 9b + a + 18b = 96
   ⇒ 3a + 27b = 96
   ⇒ a + 9b = 32
   
   Suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U₁₀ = a + 9b
   ⇒ U₁₀ = a + 9b = 32 (Opsi C)
   
   
   
5. Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah ...

   A. 10 B. 19 C. 28,5

   D. 55 E. 82,5

   
   Pembahasan
   Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
   U2 + U15 + U40 = 165
   ⇒ a + b + a + 14b + a + 39 b = 165
   ⇒ 3a + 54b = 165
   ⇒ a + 18b = 55
   
   Suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah :
   U19 = a + 18b
   ⇒ U19 = 55 (opsi D).
   
   

Menentukan Jumlah Suku ke-n (Sn) Pertama Bila Suku ke-n Diketahui

1. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un, diketahui  U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72.  Maka Jumlah 14 suku pertama sama dengan ...

   A. 252	D. 344
   B. 284	E. 364
   C.320

   
   Pembahasan :
   Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan dengan rumus berikut :
   
   

   Sn =	n	(a + Un)
   	2

   
   Dengan :
   Sn = jumlah n suku pertama
   n = banyak suku
   Un = suku ke-n
   a = U1 = suku pertama.
   
   Berdasarkan rumus di atas, maka jumlah 14 suku pertama dapat dihitung dengan :
   

   ⇒ S14 =	14	(a + U14)
   	2

   ⇒ S₁₄ = 7 (a + U₁₄)
   ⇒ S₁₄ = 7 (a + a + 13b)
   ⇒ S₁₄ = 7 (2a + 13b)
   
   Sekarang, kita lihat apa yang akan kita peroleh dari persamaan yang diketahui pada soal.
   ⇒ U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72
   ⇒ a + 2b + a + 5b + a + 8b + a + 11b = 72
   ⇒ 4a + 26b  = 72
   ⇒ 2a + 13b  = 36
   
   Substitusilah persamaan yang kita peroleh ke rumus jumlah suku.
   ⇒ S₁₄ = 7 (2a + 13b)
   ⇒ S₁₄ = 7 (36)
   ⇒ S₁₄ = 252
   Jadi, jumlah 14 suku pertama barisan itu adalah 252.
   

   Jawaban : A
   
   
2. Jika suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya adalah 240, maka jumlah 7 suku pertamanya adalah ...

   A. 14	D. 1
   B. 10	E. -7
   C. 7

   
   Pembahasan :
   Dik : b = 2.
   
   Karena beda diketahui, maka suku pertama dapat dicari menggunakan rumus jumlah 20 suku pertama. Jumlah 20 suku pertama :
   

   ⇒ S20 =	20	(a + U20)
   	2

   ⇒ S₂₀ = 10 (a + U₂₀)
   ⇒ S₂₀ = 10 (a + a + 19b)
   ⇒ S₂₀ = 10 (2a + 19.2)
   ⇒ S₂₀ = 10 (2a + 38) 
   ⇒ 240 = 20a + 380
   ⇒ 20a = -140
   ⇒ a = -7
   
   Jumlah 7 suku pertama :
   

   ⇒ S7 =	7	(a + U7)
   	2

   ⇒ S₇ = ⁷⁄₂ (a + a + 6b)
   ⇒ S₇ = ⁷⁄₂ (2a + 6b)
   ⇒ S₇ = ⁷⁄₂ (2(-7) + 6.2) 
   ⇒ S₇ = ⁷⁄₂ (-14 + 12) 
   ⇒ S₇ = ⁷⁄₂ (-2)
   ⇒ S₇ = -7
   

   Jawaban : E
   
   
3. Suku ke-n suatu deret ritmetika adalah Un = 3n - 5. Rumus jumlah n suku yang pertama adalah ...

   A. Sn = n⁄2 (3n - 7)	D. Sn = n⁄2 (3n - 3)
   B. Sn = n⁄2 (3n - 5)	E. Sn = n⁄2 (3n - 2)
   C. Sn = n⁄2 (3n - 4)

   
   Pembahasan :
   Dari rumus Un yang diketahui di soal, maka kita bisa melihat nilai suku pertamanya.
   ⇒ Un = 3n - 5
   ⇒ U₁ = 3(1) - 5
   ⇒ U₁ = -2
   ⇒ a = -2
   
   Rumus jumlah n suku pertama secara umum adalah :
   

   ⇒ Sn =	n	(a + Un)
   	2

   ⇒ Sn =	n	(a + 3n - 5)
   	2

   ⇒ Sn =	n	(-2 + 3n - 5)
   	2

   ⇒ Sn =	n	(3n - 7)
   	2

   Jawaban : A
   
   
4. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah ...

   A. 440	D. 610
   B. 460	E. 640
   C. 590

   
   Pembahasan :
   Suku kedua :
   ⇒ U₂ = 5
   ⇒ a + b = 5
   ⇒ a = 5 - b
   
   Suku kelima :
   ⇒ U₅ = 14
   ⇒ a + 4b = 14
   ⇒ 5 - b + 4b = 14
   ⇒ 3b = 9
   ⇒ b = 3, maka a = 5 - 3 = 2
   
   
   Jumlah 20 suku pertama :
   

   ⇒ S20 =	20	(a + U20)
   	2

   ⇒ S₂₀ = 10 (a + U₂₀)
   ⇒ S₂₀ = 10 (a + a + 19b)
   ⇒ S₂₀ = 10 (2.2 + 19.3)
   ⇒ S₂₀ = 10 (61)
   ⇒ S₂₀ = 610
   

   Jawaban : D 
   
   
5. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah ...

   A. 765	D. 560
   B. 660	E. 540
   C. 640

   
   Pembahasan :
   Suku ketiga :
   ⇒ U₃ = 24
   ⇒ a + 2b = 24
   ⇒ a = 24 - 2b
   
   Suku kelima :
   ⇒ U₆ = 36
   ⇒ a + 5b = 36
   ⇒ 24 - 2b + 5b = 36
   ⇒ 3b = 12
   ⇒ b = 4, maka a = 24 - 2(4) = 16
   
   Jumlah 15 suku pertama :
   

   ⇒ S15 =	15	(a + U15)
   	2

   ⇒ S₁₅ = ¹⁵⁄₂ (a + a + 14b)
   ⇒ S₁₅ = ¹⁵⁄₂ (2a + 14b)
   ⇒ S₁₅ = ¹⁵⁄₂ (2.16 + 14.4) 
   ⇒ S₁₅ = ¹⁵⁄₂ (32 + 56) 
   ⇒ S₁₅ = ¹⁵⁄₂ (88)
   ⇒ S₁₅ = 660
   

   Jawaban : B

Sumber : bahanbelajarsekolah.blogspot.com

Posted in: