Dari sebuah segitiga, kita dapat membuat lingkaran baik itu dalam segitiga maupun luar segitiga. Dimana pada lingkaran dalam segitiga, lingkaran menyinggung ketiga sisi sgitiga dari dalam. Sedangkan pada lingkaran luar segitiga, lingkaran menyinggung ketiga titik sudut segitiga. Artikel kali ini, akan membahas mengenai rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga yang disertai uraian penurunannya atau pembuktiannya.
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Segitiga ABC di atas merupakan segitiga sebarang. Titik P, Q, dan R merupakan titik singgung antara segitiga ABC dengan lingkaran yang berpusat di O. OP = OQ = OR = r yang merupakan jari-jari dari lingkaran O. Panjang BC = a, AC = b, dan AB = c. Dari titik A, B, C, dan O terbentuk 3 buah segitiga yaitu segitiga AOB, segitiga AOC, dan segitiga BOC dengan tinggi sama yaitu r. Luas dari masing-masing segitiga tersebut adalah
Luas Segitiga AOB = 1/2 x AB x OR
Luas Segitiga AOC = 1/2 x AC x OQ
Luas Segitiga BOC = 1/2 x BC x OP
Untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga AOB kita dapat menggunakan persamaan bahwa Luas Segitiga ABC sama dengan jumlah Luas Segitiga AOB, Luas Segitiga AOC dan Luas Segiitiga BOC atau dapat ditulis sebagai berikut
Jadi, rumus jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga adalah
Dengan s = setengah keliling atau s = ½ (a + b + c) dan L = luas segitiga. Luas segitiga dapat ditentukan dua cara yaitu
L = ½ x Alas x Tinggi
Rumus di atas dapat digunakan apabila alas dan tinggi segitiga dapat ditentukan dengan jelas. Bila tidak, maka luas segitiga juga dapat ditentukan dengan formula Heron yaitu
Dari gambar segitiga ABC di atas, diperoleh juga rumus jarak titik sudut segitiga terhadap titik singgung dengan lingkarannya.
Misalkan panjang AR = AQ = x, BR = BP = y, dan CP =CQ = z. Sehingga
AR + BR = AB atau x + y = c
BP + CP = BC atau y + z = a
AQ + CQ = AC atau x + z = b
Agar lebih memahami penggunaan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut, perhatikan contoh berikut
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Luas Segitiga AOB = 1/2 x AB x OR
Luas Segitiga AOC = 1/2 x AC x OQ
Luas Segitiga BOC = 1/2 x BC x OP
Untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga AOB kita dapat menggunakan persamaan bahwa Luas Segitiga ABC sama dengan jumlah Luas Segitiga AOB, Luas Segitiga AOC dan Luas Segiitiga BOC atau dapat ditulis sebagai berikut
Jadi, rumus jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga adalah
Dengan s = setengah keliling atau s = ½ (a + b + c) dan L = luas segitiga. Luas segitiga dapat ditentukan dua cara yaitu
L = ½ x Alas x Tinggi
Rumus di atas dapat digunakan apabila alas dan tinggi segitiga dapat ditentukan dengan jelas. Bila tidak, maka luas segitiga juga dapat ditentukan dengan formula Heron yaitu
Dari gambar segitiga ABC di atas, diperoleh juga rumus jarak titik sudut segitiga terhadap titik singgung dengan lingkarannya.
Misalkan panjang AR = AQ = x, BR = BP = y, dan CP =CQ = z. Sehingga
AR + BR = AB atau x + y = c
BP + CP = BC atau y + z = a
AQ + CQ = AC atau x + z = b
Jadi,
x = s – (y + z) = s – a
y = s – (x + z) = s – b
z = s – (x + y) = s – c
atau
AR = AQ = s – a
BR = BP = s – b
CP = CQ = s – c
Agar lebih memahami penggunaan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut, perhatikan contoh berikut
Diketahui sebuah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Tentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut!
Penyelesaian
Jika diperhatikan sisi-sisi dari segitiga tersebut merupakan triple pythagoras dengan panjang sisi miring 5 cm serta sisi siku-siku 3 cm dan 4 cm. Sehingga untuk mencari luas kita tidak usah menggunakan formula Heron cukup dengan rumus luas segitiga setengah kali alas kali tinggi.
L = ½ x 3 x 4
L = 6 cm2
s = ½(3 + 4 + 5)
s = 6 cm
r = L/s
r = 6/6
r = 1 cm
Jadi, jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah 1 cm
Jadi, jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah 1 cm
